«Математика» 2011 3

О сохранении неустойчивости механических систем при эволюции диссипативных сил

Авторы: А. Ю. Александров, А. В. Платонов, А. А. Косов
Аннотация:

Исследуются описываемые дифференциальными уравнениями Лагранжа второго рода механические системы с нестационарной эволюцией диссипативных сил, приводящей ких доминированию или исчезновению. Доказаны теоремы о неустойчивости равновесия по линейному приближению в условиях неприменимости известных для нестационарных линеаризаций классических критериев. Рассмотрены случаи существенно нелинейных диссипативных сил, определяемых однородной функцией Рэлея или зависящих от координат, для которых также получены условия неустойчивости положения равновесия.
Ключевые слова: механические системы, диссипативные силы, устойчивость, функции Ляпунова, нестационарный параметр
УДК: 531.36
Литература: 1. Александров А. Ю. Устойчивость движений неавтономных динамическихсистем / А. Ю. Александров. – СПб. : Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004.
2. Александров А.Ю. Об устойчивости положений равновесия нелинейных неавтономных механических систем / А. Ю. Александров // Прикл. математика и механика. – 2007. – Т. 71, № 3. – С. 361–376.
3. Александров А. Ю. Об асимптотической устойчивости положений равновесия механических систем с нестационарным ведущим параметром / А. Ю. Александров, А. А. Косов // Изв. РАН. Теория и системы управления. – 2008. – № 3. – C. 8–22.
4. Андреев А. С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы / А. С. Андреев // Прикл. математика и механика. – 1984. – Т. 48, № 2. – C. 225–232.
5. Вульфсон И. И. Учет нелинейных диссипативных сил при ограниченной исходной информации / И. И. Вульфсон // Теория механизмов и машин. – 2003. – № 1. – С. 70–77.
6. Зубов В. И. Каноническая структура векторного силового поля / В. И. Зубов // Проблемы механики твердого деформируемого тела. – Л.: Судостроение, 1970. – С. 167–170.
7. Карапетян А. В. Об устойчивости неконсервативных систем / А. В. Карапетян // Вестн. МГУ. Сер. Математика и механика. – 1975. – № 4. – С. 109–113.
8. Косов А. А. Об экспоненциальной устойчивости и стабилизации неавтономных механических систем с неконсервативными силами / А. А. Косов // Прикл. математика и механика. – 2007. – Т. 71, № 3. – С. 411–426.
9. Лахаданов В. М. О влиянии структуры сил на устойчивость движения / В. М. Лахаданов // ПММ. – 1974. – Т. 38, № 2. – С. 246–253.
10. Леонов Г. А. Проблема обоснования первого приближения в теории устойчивости движения / Г. А. Леонов // Успехи механики. – 2003. – Т. 2, № 3. – С. 3–35.
11. Лурье А. И. Аналитическая механика / А. И. Лурье. – М. : Физматгиз, 1961.
12. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов. – М. ; Л. : ОНТИ, 1935.
13. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения / И. Г. Малкин. – М. : Наука, 1966. – 525 с.
14. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем / В. М. Матросов. – М. : Физматлит, 2001. – 384 с.
15. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения / Д. Р. Меркин. – М. : Наука, 1987.
16. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике / Н. Г. Четаев. – М. : Изд-во АН СССР, 1962. – 535 с.
17. Хатвани Л. О действии демпфирования на свойства устойчивости равновесий неавтономных систем / Л. Хатвани // Прикл. математика и механика. – 2001. – Т. 65, № 4. – C. 725–732.
18. Hatvani L. A necessary and sufficient condition for the asymptotic stability of the damped oscillator / L. Hatvani, T. Krisztin, V. Totik // J. Different. Equat. – 1995. – Vol. 119, N 1. – P. 209–223.
19. Sun J. A less conservative stability test for second-order linear time-varying vector differential equations / J. Sun, O. G. Wang, Q. C. Zhong // Intern. J. of Control. – 2007. – Vol. 80, N 4. – P. 523–526.