Рассматривается операторное уравнение вида B(λ)x + R(x, λ) = 0. Линейный оператор B(λ) не имеет ограниченного обратного при λ = 0. Нелинейный оператор R(x, λ) непрерывен в окрестности нуля, R(0, 0) = 0. Получены достаточные условия существования непрерывного решения x(λ) → 0 при λ → 0 в некотором открытом множестве S линейного нормированного пространства Λ. Нуль пространства Λ принадлежит границе множества S. Предложен способ построения решения с максимальным порядком малости в окрестности точки λ = 0.