Данная заметка представляет собой продолжение цикла работ автора по вопросам построения теории обобщенных решений вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах и посвящена исследованию разрешимости в классе распределений задачи Коши для вырожденного дифференциального уравнения первого порядка с переменными операторными коэффициентами. Такие задачи, в случае фредгольмовости оператора при производной, сводятся к исследованию систем интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода с ядром общего вида. Использовав, во-первых, полученные ранее результаты о разрешимости таких систем в классе непрерывных функций и, во-вторых, теорию фундаментальных оператор-функций вырожденных дифференциальных операторов в банаховых пространствах, удалось построить обобщенное решение рассматриваемой задачи в классе обобщенных функций с ограниченным слева носителем. Исследована связь полученного обобщенного решения с непрерывным решением этой же задачи. Приведена формула для фундаментальной оператор-функции нестационарного дифференциального оператора первого порядка в регулярном случае.