«Математика» 2012 2

Численное решение нелинейных интегральных уравнений Вольтерра с дробно-экспоненциальными ядрами реологических моделей вязкоупругой среды

Авторы: А. Н. Тында, А. Е. Романов
Аннотация:

Статья посвящена численному исследованию реологических моделей в рамках теории нелинейной наследственной ползучести. Предложен численный метод решения нелинейных слабосингулярных интегральных уравнений Вольтерра с ядром Ржаницына, используемых в реологических моделях вязкоупругой среды. Сходимость метода проиллюстрирована на модельном уравнении, также приведены результаты моделирования ползучести на примере суглинка.
Ключевые слова: Нелинейные интегральные уравнения Вольтерра, ядро Ржаницына, вязкоупругость, метод Ньютона – Канторовича
УДК: 517.968.43, 532.135
Литература: 1. Александров В. М. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости / В. М. Александров, М. И. Чебаков. – М. : Физматлит, 2004. – 304 с.
2. Бойков И. В. Некоторые вопросы приближенного решения нелинейных операторных уравнений методом Ньютона – Канторовича / И. В. Бойков // Сб. аспирант. работ. Точные науки. – Казань : Изд-во Казан. гос. ун-та, 1970. – С. 82–94.
3. Бойков И. В. Оптимальные по точности приближенные методы решения интегральных уравнений Вольтерра / И. В. Бойков, А. Н. Тында // Дифференц. уравнения. – 2002. – Т. 38, N 9. – С. 1225–1232.
4. Вялов С. С. Реологические основы механики грунтов / С. С. Вялов. — М. : Высш. шк., 1978. – 447 с.
5. Канторович Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. – М. : Наука, 1979. – 744 с.
6. Колтунов М. А. Ползучесть и релаксация / М. А. Колтунов. – М. : Высш. шк., 1976. – 277 с.
7. Малкин А. Я. Реология: концепции, методы, приложения / А. Я. Малкин, А. И. Исаев. – СПб. : Профессия, 2007. – 560 с.
8. Месчян С. Р. Экспериментальная реология глинистых грунтов / С. Р. Месчян. – М. : Недра, 1985. – 342 с.
9. Ржаницын А. Р. Теория ползучести / А. Р. Ржаницын. – М. : Стройиздат, 1968. – 418 с.
10. Тында А. Н. Смешанный сплайн-коллокационный метод решения слабосингулярных интегральных уравнений Вольтерра / А. Н. Тында // Тр. СВМО. – 2005. – Т. 7, N 1. – С. 351–358.
11. Brunner H. Collocation methods for Volterra integral and related functional differential equations / H. Brunner. – Cambridge University Press, Cambridge, 2004.
12. Brunner H. The piecewise polynomial collocation method for nonlinear weakly singular Volterra equation / H. Brunner, A. Pedas, G. Vainikko // Math. Comp. – 1999. – Vol. 68, N 227. — Р. 1079–1095.
13. Diogo T. Numerical solution of a nonlinear Abel type Volterra integral equation / T. Diogo, P. Lima, M. Rebelo // Commun. Pure Appl. Analysis. – 2006. – Vol. 5. – P. 277–288.
14. Diogo T. Collocation methods for second-kind Volterra integral equations with weakly singular kernels / T. Diogo, S. McKee, T. Tang // Proc. Roy. Soc. Edin. – 1994 – 124A. – P. 199–210.
15. Tynda A. N. On Numerical Solution of a Nonlinear Volterra Integral Equation of Fractional Order / A. N. Tynda // Тр. СВМО. – 2009. – Vol. 11, N 1. – P. 71–79.
16. Tynda A. N. Numerical algorithms of optimal complexity for weakly singular Volterra integral equations / A. N. Tynda // Computational Methods in Applied Mathematics. – 2006. – Vol. 6, N 4. – P. 436–442.