journal.isu.ru

Начальная страница

Конечная страница

УДК

Раздел
     

Файл
Скачать Изменить файл

Название RU

Авторы RU

Аннотация RU
<p>Рассматривается нелинейное параболическое уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными, которое при некоторых дополнительных предположениях может быть интерпретировано как нелинейное уравнение теплопроводности (фильтрации) в случае, когда искомая функция зависит от двух независимых переменных: времени и расстояния до начала координат. Данное уравнение имеет многочисленные приложения в механике сплошной среды, из которых одним из наиболее интересных, помимо, собственно, моделирования распространения тепла, является математическое описание фильтрации идеального политропного газа в пористой среде (в англоязычной литературе за ним закрепилось название «the porous medium equation»). Авторы исследуют специальный класс решений, которые в литературе обычно именуются «тепловыми волнами». Их особенностью является то, что они «сшиты», из двух решений, непрерывно состыкованных между собой, одно из них является тривиальным, а второе - неотрицательным. На линии стыковки, именуемой тепловым фронтом (или фронтом фильтрации), возможен разрыв производных, т.е. гладкость решения, вообще говоря, нарушается. Наиболее естественной задачей, для которой характерны подобного рода решения, является, так называемая «задача А. Д. Сахарова об инициировании тепловой волны». Для указанной задачи в статье построены новые решения в виде кратных рядов по степеням физических переменных, коэффициенты которых определяются при решении трехдиагональных систем линейных алгебраических уравнений. При этом элементы матриц систем зависят от их порядка, и не выполняется условие диагонального преобладания. Для коэффициентов рядов получены рекуррентные формулы.</p>

Ключевые слова RU

Литература RU
1. Баренблатт Г. И. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа / Г. И.Баренблатт, В. М. Ентов, В. М. Рыжик. – М. : Недра, 1972. – 288 с. 2. Баутин С. П. Аналитическая тепловая волна / С. П. Баутин. – М. : Физматлит,2003. – 88 с. 3. Баутин С. П. Обобщeнная задача Коши и ее приложения / С. П. Баутин, А.Л. Казаков. – Новосибирск, 2006. – 397 с. 4. Зельдович Я. Б. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры / Я. Б. Зельдович, А. С. Компанеец // Сборник,посвященный 70-летию А.Ф. Иоффе. – 1950. – С. 61–71. 5. Казаков А. Л. Об одной краевой задаче для нелинейного уравнения теплопроводности в случае цилиндрической и сферической симметрии / А. Л. Казаков,П. А. Кузнецов // Вестник УрГУПС. – 2013. – № 4. – C. 4–10. 6. Казаков А. Л. Об одной краевой задаче для нелинейного уравнения теплопроводности в случае двух пространственных переменных / А. Л. Казаков, П. А.Кузнецов // Сиб. журн. индустр. математики. – 2014. – С. 46–54. 7. Казаков А. Л. Об одной краевой задаче с вырождением для нелинейного уравнения теплопроводности в сферических координатах / А. Л. Казаков, П. А.Кузнецов, Л. Ф. Спевак // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. –2014. – Т. 20, № 1. – С. 119–129. 8. Казаков А. Л. Аналитическое и численное исследование одной краевой задачинелинейной фильтрации с вырождением / А. Л. Казаков, А. А. Лемперт //Вычисл. технологии. – 2012. – Т. 17, № 1. – С. 57–68. 9. Казаков А. Л. О существовании и единственности решения краевой задачи дляпараболического уравнения нестационарной фильтрации / А. Л. Казаков, А.А. Лемперт // Прикл. механика и техн. физика. – 2013. – Т. 54, № 2(318). – С.97–105. 10. Казаков А. Л. Методы граничных элементов и степенных рядов в одномерныхзадачах нелинейной фильтрации / А. Л. Казаков, Л. Ф. Спевак // Изв. Иркут.гос. ун-та. Сер. Математика. – 2012. – Т. 5, № 2. – С. 2–17. 11. Кузнецов П. А. О краевой задаче с вырождением для нелинейного уравнениятеплопроводности с данными на замкнутой поверхности / П. А. Кузнецов //Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2014. – Т. 9. – С. 61–74. 12. Ладыженская О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболическоготипа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. – М. : Наука,1967. – 736 с. 13. Лейбензон Л. С. Собрание трудов. Т. 2. Подземная газогидродинамика / Л.С. Лейбензон. – М. : Изд-во АН СССР, 1953. – 544 с. 14. Олейник О. А. Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации / О. А. Олейник, А. С. Калашников, Юй-линь Чжоу //Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1958. – Т. 22, вып. 5. – С. 667–704. 15. Полянин А. Д. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения / А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев. – М. : Физматлит, 2002.– 432 с. 16. Рудых Г. А. Неавтомодельные решения многомерного уравнения нелинейнойдиффузии / Г. А. Рудых, Э. И. Семенов // Мат. заметки. – 2000. – Т. 67, № 2.– С. 250–256. 17. Сидоров А. Ф. Избранные труды: Математика. Механика / А. Ф. Сидоров. –М. : Физматлит, 2001. – 576 с. 18. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А.Самарский. – М. : Изд-во МГУ, 1999. – 798 с. 19. Vazquez J. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory / J. Vazquez //Oxford: Clarendon Press, 2007. 648 p. 20. Kazakov A. Numerical and analytical studies of a nonlinear parabolic equationwith boundary conditions of a special form / A. Kazakov, L. Spevak // AppliedMathematical Modelling. – 2013. – Vol. 37, N 10-11. – P. 6918–6928.

Название EN

Авторы EN

Аннотация EN
<p>The nonlinear second-order parabolic equation with two variables is considered in the article. Under the additional conditions, this equation can be interpreted as the nonlinear heat equation (the porous medium equation) in case of dependence of the unknown function on two variables (time and origin distance). The equation has many applications in continuum mechanics, in particular, it is used for mathematical modeling of filtration of ideal polytropic gas in porous media. The authors research a special class of solutions which are usually called a "heat wave"in literature. The special feature of these solutions is that they are "sewn"together of two continuously butt-joined solutions (trivial and nonnegative). The solution of heat wave’s type can has derivative discontinuity on the line of joint which is called as the heat wave’s front (the front of filtration), i.e. smoothness of the solution, generally speaking, is broken. The most natural problem which has the solutions of this kind is so-called "the Sakharov problem of the initiation of a heat wave". New solutions of this problem in kind of multiple power series in physical variables were constructed in the article. The coefficients of the series are determined from tridiagonal systems of linear algebraic equations. Herewith, the elements of matrixes of systems depend on the order of the matrixes and the condition of the diagonal dominance is not executed. The recurrent formulas of the coefficients were obtained.</p>

Ключевые слова EN

Литература EN
1. Barenblatt G.I., Entov V.M., Ryzhyk V.M. The Theory of Unsteady Filtration ofLiquid and Gas. Fort Belvoir, Defense Technical Information Center, 1977. 476 p. 2. Bautin S.P. Analytic Heat Wave (in Russian). Moscow, Fizmatlit, 2003. 88 p. 3. Bautin S.P., Kazakov A.L. Generalized Cauchy Problem with Applications (inRussian). Novosibirsk, Nauka, 2006. 397 p. 4. Zel’dovich Ya.B., Kompaneets A.S. Towards a Theory of Heat Propagation withHeat Conductivity Depending on Temperature (in Russian). Sbornik, posv. 70-letiyu Ioffe, 1950, pp. 61–71. 5. Kazakov A.L., Kuznetsov P.A. On One Boundary Value Problem for a NonlinearHeat Equation in Case of cylindrical and spherical symmetry (in Russian). VestnikUrGUPS 2013, no 4, pp. 4–10. 6. Kazakov A.L., Kuznetsov P.A. On One Boundary Value Problem for a NonlinearHeat Equation in the Case of Two Space Variables. J. Appl. Ind. Math., 2014, vol.8, no 2, pp. 227–236. 7. Kazakov A.L., Kuznetsov P.A., Spevak L.F. On a Degenerate Boundary ValueProblem for the Porous Medium Equation in Spherical Coordinates (in Russian).Trudy IMM UrO RAN, 2014, vol. 20, no. 1, pp. 119–129. 8. Kazakov A.L., Lempert A.A. Analytical and Numerical Studies of the BoundaryValue Problem of a Nonlinear Filtration with Degeneration (in Russian). Vych.tehnologii, 2012, vol. 17, no 1, pp. 57–68. 9. Kazakov A.L., Lempert A.A. Existence and Uniqueness of the Solution of theBoundary-Value Problem for a Parabolic Equation of Unsteady Filtration. J. Appl.Mech. Tech. Phys., 2013, vol. 54, no 2, pp. 251—258. 10. Kazakov A.L., Spevak L.F. Boundary Elements Method and Power Series Methodfor One-dimensional Non-linear Filtration Problems (in Russian). Izvestiya IGU.Ser.: Mat., 2012, vol. 5, no 2, pp. 2–17. 11. Kuznetsov P.A. On Boundary Value Problem with Degeneration for a NonlinearHeat Equation with Data on Closed Surface (in Russian). Izvestiya IGU. Ser.:Mat., 2014, vol. 9, pp. 61–74. 12. Ladyzhenskaya O.A., Solonnikov V.A., Ural’tseva N.N. Linear and QuasilinearEquations of Parabolic Type. Transl. Math. Monographs, Vol. 23, Amer. Math.Soc., Providence, 1968. 13. Leybenzon L.S. Collected Works. Vol. 2. Underground Gas- and Hydrodynamics(in Russian). Moscow, Izd-vo AN SSSR, 1953. 544 p. 14. Oleynik O.A., Kalashnikov A.S., Chzou Yu.-L. The Cauchy Problem and BoundaryValue Problems for Equations of the Type of Unsteady Filtration (in Russian). Izv.Akad. Nauk SSSR Ser. Matem., 1958, vol. 22, no 5, pp. 667–704. 15. Polyanin A.D., Zaytsev V.F. Handbook of Nonlinear Partial Differential. BocaRaton–London, Chapman & Hall/CRC Press, 2012. 803 p. 16. Rudykh G.A., Semenov E.I. Non-self-similar Solutions of MultidimensionalNonlinear Diffusion Equations. Math. Notes, 2000, vol. 67, no 2, pp. 200–206. 17. Sidorov A.F. Selected Works: Mathematics. Mechanics (in Russian). Moscow,Fizmatlit, 2001, 576 p. 18. Tikhonov A.N., Samarskiy A.A. Equations of Mathematical Physics (in Russian).Moscow, Izd-vo MGU, 1999. 798 p. 19. Vazquez J.L. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory. Oxford,Clarendon Press, 2007. 648 p. 20. Kazakov A.L., Spevak L.F. Numerical and analytical studies of a nonlinearparabolic equation with boundary conditions of a special form. AppliedMathematical Modelling, 2013, vol. 37, no. 10–11, pp. 6918–6928.