journal.isu.ru

Начальная страница

Конечная страница

УДК

Раздел
     

Файл
Скачать Изменить файл

Название RU

Авторы RU

Аннотация RU
<p>В статье изучается задача построения точных решений для нелинейной системы двух уравнений эллиптического типа. Нелинейные системы уравнений эллиптического типа применяются в качестве математических моделей в теории тепло- и массопереноса реагирующих систем, в теории химических реакторов, теории горения и математической биологии. В одномерном случае к этому же классу уравнений можно отнести описываемую обыкновенными дифференциальными уравнениями модель магнитной изоляции вакуумного диода. Нахождение точных решений для нелинейных эллиптических систем играет важную роль как для развития теории и установления свойств всего множества решений, так и для приложений. Точные решения можно использовать для тестирования и верификации численных методов решения краевых задач. В данной статье рассматривается система двух уравнений эллиптического типа с одной нелинейностью, зависящей от разности квадратов искомых функций. Найдены условия на нелинейность, при которых система редуцируется к одному уравнению. Показано, что в этом случае система сводится к полулинейному эллиптическому уравнению специального вида, лишь одним слагаемым отличающимся от уравнения Гельмгольца. Отдельно изучен случай системы, не сводящейся ни при какой нелинейности к одному уравнению. Для этого случая выведено интегро-дифференциальное уравнение, которому должны удовлетворять радиально-симметричные решения. Указаны случаи, когда это уравнение сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению и интегрируется в явном виде. Приведен ряд примеров построения точных решений, задаваемых элементарными функциями, для систем с двумерным и трехмерным оператором Лапласа.</p>

Ключевые слова RU

Литература RU
1. Полянин А. Д. Нелинейные системы двух уравнений эллиптического типа [Электронный ресурс] / А. Д. Полянин. – URL:http://eqworld.ipmnet.ru/ru/solutions/syspde/spde-toc3.htm. 2. Ben Abdallah N. Mathematical model of magnetic insulation / N. Ben Abdallah,P. Degond, F. Mehats // Physics of plasmas. – 1998. – Vol. 5. – P. 1522–1534. 3. Косов А. А. Интегрируемость модели магнитной изоляции и ее точныерадиально-симметричные решения / А. А. Косов, Э. И. Семенов, А. В. Синицын // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2013. – Т. 6, № 1. –С. 45–56. 4. Косов А. А. О построении решений систем нелинейных уравнений, применяемых для моделирования магнитной изоляции / А. А. Косов, Э. И. Семенов, А.В. Синицын // Сиб. журн. индустр. математики. – 2015. – Т. XVIII, № 1(61). –С. 69–83. 5. Семенов Э. И. Математическая модель магнитной изоляции вакуумного диодаи ее точные решения / Э. И. Семенов, А. В. Синицын // Изв. Иркут. гос. ун-та.Сер. Математика. – 2010. – № 1. – C. 78–91. 6. Косов А. А. Многомерные точные решения одного класса нелинейных эллиптических систем / А. А. Косов, Э. И. Семенов // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер.Математика. – 2014. – Т. 9, № 3. – С. 49–60. 7. Семенов Э. И. О многомерных точных решениях одной нелинейной системы двух уравнений эллиптического типа / Э. И. Семенов, А. А. Косов //Дифференц. уравнения. – 2015. – Т. 51, № 2. – С. 229–239. 8. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/solutions/syspde/spde3108.pdf 9. Canino A. Symmetry of solutions of some semilinear elliptic equations with singularnonlinearities / A. Canino, M. Grandinetti, B. Sciunzi // Journal of DifferentialEquations. – 2013. – Vol. 255. – P. 4437–4447.

Название EN

Авторы EN

Аннотация EN
<p>In paper the problem of construction of exact solutions for nonlinear system of two equations of elliptic type is studied. Nonlinear systems of the equations of elliptic type are applied as mathematical models in the theory warm and a mass transfer of the reacting systems, in the theory of chemical reactors, the theory of burning and mathematical biology. In a one-dimensional case can carry the model of magnetic isolation of the vacuum diode described by the ordinary differential equations to the same class of the equations. Finding of exact solutions for nonlinear elliptic systems plays an important role as for development of the theory and establishment of properties of all set of solutions, and for applications. Exact solutions can be used for testing and verification of numerical methods of the solution of boundary value problems. In this paper the system of two equations of elliptic type with one nonlinearity depending on a difference of squares of required functions is considered. Conditions on nonlinearity under which the system is reduced to one equation are found. It is shown that in this case the system is reduced to the semi-linear elliptic equation of a special kind, only one component different from Helmholtz’s equation. The case of the system which isn’t reduced is separately studied at any nonlinearity to one equation. For this case the integro-differential equation to which have to satisfy radially symmetric solutions is obtained. Cases when this equation is reduced to the ordinary differential equation are specified and is integrated in an explicit form. A number of examples of construction of the exact solutions set by elementary functions for systems with the two-dimensional and three-dimensional operator of Laplace is given.</p>

Ключевые слова EN

Литература EN
1. Polyanin A.D. Nonlinear systems of two equations of elliptic type(in Russian) [Nelineinye sistemy dvukh uravneniy ellipticheskogo tipa](http://eqworld.ipmnet.ru/ru/solutions/syspde/spde3108.pdf) 2. Ben Abdallah N., Degond P., Mehats F. Mathematical model of magneticinsulation // Physics of plasmas, 1998, vol. 5, pp. 1522–1534. 3. Kosov A.A., Semenov E.I., Sinitsyn A.V. Integrable models of magnetic insulationand its exact radially symmetric solutions (in Russian) [Integriruemost’ modelimagnitnoy izolyatsii i eye tochnye radial’no simmetrichnye resheniya] // IzvestiaISU. Ser. Mathematics, 2013, vol. 6, № 1, pp. 45–56. 4. Kosov A.A., Semenov E.I., Sinitsyn A.V. On the construction of solutionsof systems of nonlinear equations used to model the magnetic insulation(inRussian) [O postroenii reschenii sistem nelineinykh uravnenii, primenyaemykh dlyamodelirovaniya magnitnoi izolatsii] // Sibirskii zhurnal industrialnoi matematiki,2015, vol. XVIII, no 1(61), pp. 69–83. 5. Semenov E.I., Sinitsyn A.V. A mathematical model of magnetic insulation vacuumdiode and its exact solutions (in Russian) [Matematicheskaya model magnitnoiizolyatsii vakuumnogo dioda i ee tochnye rescheniya] // Izvestia ISU. Ser.Mathematics, 2010, no 1, pp. 78–91. 6. Kosov A.A., Semenov E.I. Multidimensional exact solutions to a class of nonlinearelliptic systems (in Russian) [Mnogomernye tochnye resheniya odnogo klassanelineynykh ellipticheskikh sistem] // Izvestia ISU. Ser. Mathematics, 2014, vol. 9,no 3, pp. 49–60. 7. Semenov E.I., Kosov A.A. Multidimensional exact solutions to a nonlinear system oftwo equations of elliptic type (in Russian) [O mnogomernykh tochnykh rescheniyakhodnoy nelineynoy sistemy dvukh uravneniy ellipticheskogo tipa] // Differentsialnyeuravnenia, 2015, vol. 51, no 2, pp. 229–239. 8. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/solutions/syspde/spde3108.pdf 9. Canino A., Grandinetti M., Sciunzi B. Symmetry of solutions of some semilinearelliptic equations with singular nonlinearities // Journal of Differential Equations,2013, vol. 255, pp. 4437–4447.