journal.isu.ru

Начальная страница

Конечная страница

УДК

Раздел
     

Файл
Скачать Изменить файл

Название RU

Авторы RU

Аннотация RU
<p>В работе рассматривается нелинейная неавтономная система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и соответствующее ей уравнение Лиувилля. Начальные данные системы ОДУ случайны и лежат в заданной области с известным начальным законом распределения. Для нелинейной неавтономной системы ОДУ вводится понятие ε-статистической устойчивости решения, которое позволяет исследовать поведение решения системы ОДУ с недетерменированными начальными данными. Такое исследование проводится с использованием функции плотности вероятности распределения ансамбля изображающих точек системы ОДУ. Понятие ε-статистической устойчивости решения позволяет оперировать сразу с множеством траекторий движения системы ОДУ, начальные значения которой лежат в заданной области, а также для проверки критерия ε-статистической устойчивости достаточно одной функции плотности вероятности распределения ансамбля изображающих точек Гиббса системы ОДУ, которая хоть и удовлетворяет уравнению в частных производных, но это уравнение линейное, а кроме того ищется не общее решение, а решение задачи Коши. Для введения понятия ε-статистической устойчивости решения необходимо, чтобы нелинейная система ОДУ имела решение в целом, т. е. чтобы траектории системы не уходили в бесконечность за конечное время. В общем случае ε-статистическая устойчивость не эквивалентна асимптотической устойчивости решения по Ляпунову. Однако между этими понятиями имеется тесная связь, позволяющая сформулировать необходимое и достаточное условие ε-статистической устойчивости решения для линейной автономной системы ОДУ и достаточное условие для линейной неавтономной системы ОДУ (для однородного и неоднородного случаев). В процессе исследования дисперсии нелинейной неавтономной системы ОДУ было получено необходимое и достаточное условие ε-статистической устойчивости решения системы ОДУ. Все полученные результаты проиллюстрированы на содержательных примерах.</p>

Ключевые слова RU

Литература RU
1. Гиббс Дж. В. Основные принципы статистической механики / Дж. В. Гиббс. – М. : Л. : Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1946. – 203 с. 2. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. – 2-е изд. – М. : Изд-во Моск. ун-та, 1998. – 480 с. 3. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский. – М. : Наука, 1966. – 331 c. 4. Леонов Г. А. Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения / Г. А. Леонов. – СПб. : Изд-во С.-Петербур. ун-та, 2004. – 144 с. 5. Рудых Г. А. Свойства интегральной кривой и решения неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Г. А. Рудых, Д. Я. Киселевич // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та, 2012. – № 2. – C. 7–17. – (Физико-математическиенауки). 6. Steeb W.H Generalized Liouville equation, entropy, and dynamic systems containing limit cycles / W. H. Steeb // Physica. – 1979. – Vol. 95. – P. 181–190.

Название EN

Авторы EN

Аннотация EN
<p>In this paper we consider a nonlinear non-autonomous system ordinary differential equations (ODE) and the corresponding Liouville equation. Initial data of the ODE system is random and lie in a given region with a known initial distribution law. For non-linear non-autonomous ODE system introduces the concept of ε is a statistical stability of the solution, which allows us to study the behavior of solutions of the system of ODE’s with nondeterministic initial data. Such a study is carried out using the probability density function of distribution of the ensemble of data points in the ODE system. The notion of ε is a statistical stability of the solution allows to operate directly from the set of trajectories movement of the ODE system, the initial values ??of which lie in a given area, as well as to test the criterion ε is a statistical stability rather a function of the probability density distribution of the ensemble of data points in the Gibbs ODE system, which, while satisfying partial differential equation, but it is a linear equation, and moreover sought not the total solution, and the solution of the Cauchy problem. To introduce the notion of ε is a statistical stability of the solution requires that the nonlinear ODE system has a solution as a whole, ie that the trajectories of the system does not go to infinity in finite time. In the general case, ε is a statistical stability is not equivalent to the asymptotic Lyapunov stability of solutions. However, between these concepts has close relationship allows us to formulate the necessary and sufficient condition ε is a statistical stability of the solution for a linear autonomous system of ODE and sufficient condition for the linear non-autonomous system of ODE (for homogeneous and inhomogeneous cases). The study of the dispersion of the nonlinear non-autonomous system of ODE was obtained A necessary and sufficient condition for ε is a statistical stability of the solution of the ODE system. All the results are illustrated in the examples of content.</p>

Ключевые слова EN

Литература EN
1. Gibbs J.V. Basic principles of statistical mechanics (in Russian). M.-L., State. Publ. tech. theory. lit., 1946. 203 p. 2. Demidovich B.P. Lectures on the mathematical theory of stability (in Russian). 2nd ed. M., Izd. University Press, 1998. 480 p. 3. Krasnosel’skii M.A. Translation operator of the differential equations(in Russian). M., Nauka, 1966. 331 p. 4. Leonov G.A. Strange attractors and classical theory Stability of Motion (in Russian). St. Petersburg, Publ. St. Petersburg State University, 2004. 144 p. 5. Rudykh G.A., Kiselevich D.J. Properties integral curve and solutions nonautonomous system of ordinary differential equations (in Russian). Bulletin of the Samara State Technical University, 2012, no. 2, pp. 7-17. (Physics and Mathematics). 6. Steeb W.H Generalized Liouville equation, entropy, and dynamic systems containinglimit cycles. Physica, 1979, vol. 95A, pp.181-190.