journal.isu.ru

Начальная страница

Конечная страница

УДК

Раздел
     

Файл
Скачать Изменить файл

Название RU

Авторы RU

Аннотация RU
<p>При изучении интегральных уравнений Вольтерра сверточного типа на полуоси с фредгольмовым оператором в главной части и операторнозначным ядром K = K(t) в банаховых пространствах естественным образом возникает задача построения обобщенного K(t)-жорданова набора. Исследование таких уравнений в условии полноты жордановой структуры впервые выполнено в работах Н. А. Сидорова, в которых решена проблема разрешимости рассматриваемых задач в классе непрерывных функций. Вопросам существования и единственности обобщенного решения (в классе распределений с ограниченным слева носителем) посвящен цикл работ М. В. Фалалеева. В них предложен подход, связанный с конструкцией фундаментальной оператор-функции — аналогом классического понятия фундаментального решения. Однако, применение техники указанных работ становится весьма затруднительным, когда ядро интегрального уравнения имеет нуль какого-либо порядка в точке t = 0. В этом случае неясно каким образом выстраивается обобщенная жорданова структура. Аналогичная проблема возникает при исследовании вырожденных линейных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с  дифференциальной частью высокого порядка, в которой отсутствует хотя бы одно слагаемое наивысшего порядка группы младших производных. Таким образом, вопрос о разрешимости вырожденных интегральных уравнений типа свертки с ядром, обладающим такой особенностью, остается открытым. Между тем к ним допускают редукцию краевые задачи, возникающие, например, в физике плазмы. Поэтому интерес к подобным математическим объектам вызван также их прикладной значимостью. В данной работе на примере интегрального уравнения специального вида исследован описанный феномен. Показано, что наличие в точке t = 0 нуля у ядра интегрального уравнения приводит к увеличению порядка сингулярности обобщенного решения. Установлена связь между кратностью нуля ядра в начальной точке и порядком сингулярности решения в классе распределений с ограниченным слева носителем. Доказана теорема о виде фундаментальной оператор-функции соответствующего интегрального оператора. На этой основе получены достаточные условия существования и единственности обобщенного решения. Приведены примеры, иллюстрирующие абстрактные результаты.</p>

Ключевые слова RU

Литература RU
1. Вайнберг М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. – М. : Наука, 1969. – 528 с. 2. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике / В. С. Владимиров. – М. : Наука, 1979. – 320 с. 3. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А. Г. Свешников, А. Б. Альшин, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер. – М. : Физматлит, 2007. – 736 с. 4. Орлов С. С. Обобщенные решения интегро-дифференциальныху равнений высоких порядков в банаховых пространствах/ С. С. Орлов. – Иркутск : Изд-во ИГУ, 2014. – 149 с. 5. Орлов С. С. О разрешимости интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с фредгольмовым оператором в главной части / С. С. Орлов // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2012. – Т. 5, № 3. С. 73–93. 6. Сидоров Н. А. Обобщенные решения вырожденных дифференциальных и интегральных уравнений в банаховых пространствах/ Н. А. Сидоров, М. В. Фалалеев // Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем. – Новосибирск : Наука, 1988. – С. 308–318. 7. Сидоров Н. А. Об одном классе уравнений Вольтерра с вырождением в банаховых пространствах / Н. А. Сидоров // Сиб. мат. журн. – 1983. – Т. 21, № 2. – С. 202–203. 8. Фалалеев М. В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах/ М. В. Фалалеев // Сиб. мат. журн. – 2000. – Т. 41, № 5. – С. 1167–1182. 9. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г. Е. Шилов. – М. : Наука, 1965. – 328 с. 10. Falaleev M. V. Degenerate integro-differential operators in Banach spaces and their applications / M. V. Falaleev, S. S. Orlov // Russian Mathematics. – 2011. – Vol. 55, N 10. – P. 59–69.

Название EN

Авторы EN

Аннотация EN
<p>In the study of Volterra integral equations of convolution type defined on the semi-axis with the Fredholm operator in the main part and the operator-valued kernel K = K(t) in Banach spaces we ordinarily solved the problem of constructing a generalized K(t)-Jordan sets. Investigation of such equations was carried out for first time by N. A. Sidorov in the assumption of completeness of Jordan structure. The problem of solvability in the class of continuous functions was solved in his papers. The series of papers of M. V. Falaleev are devoted to the problems of existence and uniqueness of generalized solutions (i. e. solutions in the class of distributions with left-bounded support). There first has been proposed approach associated with the construction of the fundamental operator-function, which is generation of the classical notion of the fundamental solution. However, using all of these methods becomes very difficult when the kernel of integral equation has a null of any order at t = 0. In this case, it is unclear how the generalized Jordan structure is built. A similar problem is posed in the study of degenerate linear integro-differential equations in Banach spaces with the differential part of a high order, which does not have at least one term of the highest order of lower derivatives. Thus, the problem of the solvability of degenerate convolution type integral equations with such special kernel remains unresolved. It should be noted that the boundary value problems of plasma physics can be reduced to this abstract integral equations. Therefore, interest in these mathematical objects due to their applied significance. In this paper we investigate described phenomenon in the particular case of special kind integral equation. It is shown that the presence of null of the integral equation kernel at point t = 0 leads to an increase of the order of generalized solution singularity. We have ascertained an interdependence between these two characteristics. A theorem on a form of fundamental operator-function of corresponding integral operator is proved. On this basis, we obtained sufficient conditions of the existence and uniqueness of the generalized solution. Also we considered examples illustrating obtained abstract results.</p>

Ключевые слова EN

Литература EN
1. Vainberg M. M., Trenogin V. A. Theory of Branching of Solutions of Nonlinear Equations (in Russian). Moscow, Nauka, 1969. 528 p. 2. Vladimirov V. S. Generalized Functions in Mathematical Physics (in Russian). Moscow, Nauka, 1979. 320 p. 3. Sveshnikov A. G., Al’shin A. B., Korpusov M. O., Pletner Yu. D. Linear and Nonlinear Equations of Sobolev Type (in Russian). Moscow, Fizmatlit, 2007. 736 p. 4. Orlov S. S. Generalized Solutions of Integro-Differential Equations of Higher Orders in Banach Spaces (in Russian). Irkutsk, ISU Publ., 2014. 149 p. 5. Orlov S. S. The Solvability of Volterra Integro-Differential Equations with Fredholm Operator in Main Part (in Russian). Izvestiya Irkutskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Seriya «Matematika», 2012, vol. 5, no. 3, pp. 73–93. 6. Sidorov N. A., Falaleev M. V. Generalized Solutions of Degenerated Differential and Integral Equations in Banach Spaces (in Russian). Metod Funkciy Lyapunova v analize dinamiki sistem, Novosibirsk, Nauka, 1988, pp. 308–318. 7. Sidorov N. A. On the Class of Volterra Equations with Degenerating in Banach Spaces (in Russian). Sib. Mat. Jurn., 1983, vol. 21, no. 2, pp. 202–203. 8. Falaleev M. V. Fundamental Operator-Functions of a Singular Differential Operators in Banach Spaces. Sib. Mat. Jurn., 2000., vol. 41, no. 5, pp. 1167–1182. 9. Shilov G. E. Mathematical Analisys. Second Special Course (in Russian). Moscow, Nauka, 1965. 328 p. 10. Falaleev M. V., Orlov S. S. Degenerate Integro-Differential Operators in Banach Spaces and Their Applications. Rus. Math., 2011, vol. 55, no. 10, pp. 59–69.