journal.isu.ru

Начальная страница

Конечная страница

УДК

Раздел
     

Файл
Скачать Изменить файл

Название RU

Авторы RU

Аннотация RU
<p>Ряд важных прикладных задач из химической кинетики, биофизики, теории электрических схем описываются системами жестких обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. Одним из подходов для их численного решения являются одношаговые методы Рунге – Кутта. Для задач небольшой размерности применяют неявные методы Рунге – Кутта. Среди таких алгоритмов выделяют так называемые A- и L-устойчивые. Как правило, L-устойчивые гораздо лучше справляются с данными задачами. А именно, при реализации L-устойчивых методов шаг интегрирования можно выбрать значительно большим, чем при реализации A-устойчивых методов. Самым простым и хорошо себя зарекомендовавшим из данных алгоритмов является неявный метод Эйлера.</p> <p>В данной статье приведен пример линейной автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящей от параметров, выбирая которые можно получить с коль угодно жесткую задачу. Показано, что при определенном выборе этих параметров неявная схема Эйлера оказывается неэффективной. Данный алгоритм будет устойчив только при существенном ограничении на шаг интегрирования. Построение данного примера основано на некоторых фактах из теории численного решения дифференциально-алгебраических уравнений высокого индекса. Приведены детальные выкладки.</p>

Ключевые слова RU

Литература RU
1. Арушанян О. Б. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране / О. Б. Арушанян, С. Ф. Залеткин. – М. : Изд-во Моск. ун-та. – 336 с. 2. Деккер К. Устойчивостьм етодов Рунге – Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений / К. Деккер, Я. Вервер. – М. : Мир, 1988. – 332 с. 3. Новиков Е. А. Компьютерное моделирование жестких гибридных систем / Е. А. Новиков, Ю. В. Шорников. – Новосибирск : НГТУ, 2012. – 450 с. 4. Ракитский Ю. В. Численные методы решения жестких систем / Ю. В. Ракитский, С. М. Устинов, И. Г. Черноруцкий. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. – 208 с. 5. Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи : пер. с англ. / Э. Хайрер, Г. Ваннер. – М. : Мир, 1999. – 685 с., ил. 6. Холл Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Дж. Холл, Дж. Уатт. – М. : Мир, 1979. – 312 с. 7. Чистяков В. Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром : монография / В. Ф. Чистяков. – Новосибирск : Наука, 1996. – 278 с. 8. Чистяков В. Ф. О сохранении типа устойчивости разностных схем при решении жестких дифференциально-алгебраических уравнений / В. Ф. Чистяков // Сиб. журн. вычисл. математики. – 2011. – Т. 14, № 4. – С. 443–456. 9. Butcher J. C. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations / J. C. Butcher. – Wiley, 2008. 10. Dahlquist G. Convergence and stability in the numerical integration of ordinary differential equations / G. Dahlquist // Math. Scand. – 1956. – Vol. 4. – P. 33–53. 11. M¨arz R. Differential-algebraic systems anew / R. M¨arz // Appl. Numer. Math. – 2002. – Vol. 42. – P. 315–335.

Название EN

Авторы EN

Аннотация EN
<p>A number of important applied problems of chemical kinetics, biophysics, theory of electrical circuits are described by systems of stiff ordinary differential equations with given initial conditions. The one-step Runge-Kutta method is one of approaches for their numerical solution. The implicit Runge – Kutta methods are used for problems of small dimension. The so-called A- and L-stable methods are singled out among these algorithms. Usually, L-stable methods much better cope with these problems. Namely, when we implement L-stable methods we can choose the integration step much greater than in the implementation of A-stable methods. The implicit Euler method is the simplest of these algorithms and it well proved itself.</p> <p>In the article we consider an example of a linear autonomous system of ordinary differential equations depending on parameters. By choosing these parameters, as is wished stiff problem can be obtained. It is shown that for a particular choice of the parameters Euler implicit method will be ineffective. It is stable only under significant restrictions of the integration step. The construction of this example is based on some facts of the theory of the numerical solution of differential-algebraic equations of high index. The detailed computations are shown.</p>

Ключевые слова EN

Литература EN
1. Arushanyan O.B., Zaletkin S.F.Chislennoe reshenie obyknovennyx differentsial’nyh uravneniy [Numerical Solution of Ordinary Differential Equations Using FORTRAN]. Moscow, Mos. Gos. Univ., 1990. 336 p. 2. Dekker K., Verwer J.G. Stability of Runge – Kutta Methods for Stiff Nonlinear Differential Equations. North-Holland, Amsterdam, 1984. 332 p. 3. Novikov E.A., Shornikov Yu.V. Komp’yuternoe modelirovanie zhestkikh gibridnyh sistem[Computer modeling of stiff hybrid systems. Novosibirsk, Publishing house NGTU, 2012. 450 p. 4. Rakitskii Yu.V. Ustinov S.M., Chernorutskii I.G. Chislennye metody resheniya zhestkikh sistem [Numerical Methods for Solving Stiff Systems]. Moscow, Nauka, 1979. 208 p. 5. Hairer E., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems. Springer-Verlag, Berlin, 1996. 385 p. 6. Hall G., Watt J. Modern Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. Oxford Univ., Oxford, 1976. 312 p. 7. Chistyakov V.F.Algebro-differentsial’nye operatory s konechnomernym yadrom[Algebraic Differential Operators with a Finite-Dimensional Kernel]. Novosibirsk, Nauka, 1996. 278 p. 8. Chistyakov V.F. Preservation of stability type of difference schemes when solving stiff differential algebraic equations. Numerical Analysis and Applications, 2011, vol. 4, issue 4, pp. 363–375. 9. Butcher J.C. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. Wiley, 2008. 10. Dahlquist G. Convergence and Stability in the Numerical Integration of Ordinary Differential Equations. Math.Scand., 1956, vol. 4, pp.33–53. 11. M¨arz R. Differential-algebraic Systems Anew. Appl. Numer. Math., 2002, vol. 42, pp. 315–335.