journal.isu.ru

Начальная страница

Конечная страница

УДК

Раздел
     

Файл
Скачать Изменить файл

Название RU

Авторы RU

Аннотация RU
<p>Для моделирования плазмы применяют обычно уравнения Больцмана, Власова и другие аналогичные уравнения и системы уравнений с частными производными. Для них требуется отыскивать решения, удовлетворяющие заданным начальным и краевым условиям, что представляет собой весьма трудноразрешимую задачу. Поэтому обычно проводят редукцию к более простой задаче, описываемой, например, обыкновенными дифференциальными уравнениями. На этом пути группой французских математиков была предложена модель магнитной изоляции электронов в плоском вакуумном диоде, описываемая системой двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Для этой модели ее разработчики рассматривали задачу нахождения всех ее точных решений, т. е. полного интегрирования. В данной статье мы рассматриваем класс систем эллиптического типа с многомерным оператором Лапласа, включающий обобщение модели вакуумного диода, изучавшейся французскими математиками. Такого рода системы встречаются также в моделях химической технологии, математической биологии и других прикладных областях. Установлено, что решениями рассматриваемого класса систем двух нелинейных уравнений эллиптического типа могут быть только решения линейного уравнения Гельмгольца. Показано, что свойства решений уравнения Гельмгольца могут наследоваться решениями изучаемой нелинейной системы. Предложен способ конструирования радиально симметричных точных решений. Рассмотрен целый ряд примеров систем с управлением, для которых найдены параметрические семейства точных решений, в том числе анизотропных по пространственным переменным, заданных элементарными или гармоническими функциями. В том числе указаны примеры глобальных решений, которые определены на всем пространстве. Полученные в статье явные выражения точных решений могут иметь не только теоретическое, но и прикладное значение, поскольку их можно использовать для тестирования, настройки и адаптации численных методов и алгоритмов построения приближенных решений краевых задач для обобщенной модели магнитной изоляции.</p>

Ключевые слова RU

Литература RU
1. Вязьмина Е. А. Новые классы точных решений нелинейных диффузионно-кинетических уравнений и систем общего вида / Е. А. Вязьмина, А. Д. Полянин // Теор. основы хим. технологии. – 2006. – Т. 40, № 6. – С. 1–10. 2. Дривотин О. И. Решения уравнения Власова для пучка заряженных частиц в магнитном поле / О. И. Дривотин, Д. А. Овсянников // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2013. – Т. 6. № 4. – С. 2–22. 3. Ибрагимов Н. Х. Принцип априорного использования симметрий в теории нелинейных волн / Н. Х. Ибрагимов, О. В. Руденко // Акуст. журн. – 2004. – Т. 50, № 4. – С. 1–15. 4. Косов А. А. Интегрируемость модели магнитной изоляции и ее точные радиально-симметричные решения / А. А. Косов, Э. И. Семенов, А. В. Синицын // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2013. – Т. 6, № 1. – С. 45–56. 5. Косов А. А. О построении первых интегралов для одного класса нелинейных систем / А. А. Косов, А. В. Синицын // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер.Математика. – 2012. – Т. 5, № 1. – С. 57–69. 6. Полянин А. Д. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения / А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев // М. : Физматлит, 2002. – 432 с. 7. Пухначев В. В. Точные решения уравнений движения несжимаемой вязко-упругой среды Максвелла/ В. В. Пухначев // ПМТФ. – 2009. – Т. 50, № 2. – С. 16–23. 8. Семенов Э. И. Математическая модель магнитной изоляции вакуумного диода и ее точные решения / Э. И. Семенов, А. В. Синицын // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2010. – № 1. – C. 78–91. 9. Сидоров Н. А. О разветвляющихся решениях нелинейных дифференциальных уравнений n-го порядка / Н. А. Сидоров, Д. Н. Сидоров // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2010. – Т. 3, № 1. – С. 92–103. 10. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – М. : Наука, 1977. – 735 с. 11. URL: http://eqworld.ipmnet.ru/ru/solutions/syspde/spde-toc3.htm. 12. Ben Abdallah N. Mathematical model of magnetic insulation / N. Ben Abdallah. P. Degond, F. Mehats // Physics of plasmas. – 1998. – Vol. 5. – P. 1522–1534. 13. Lyapunov – Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn and M. Falaleev. – Kluwer Academic Publishers, 2002. 14. Vedenypin V. Kinetic Boltzmann – Vlasov and related equations / V. Vedenypin, A. Sinitsyn, E. Dulov. – Amsterdam : Elsevier, 2011.

Название EN

Авторы EN

Аннотация EN
<p>In plasma modeling, partial differential equations and equation systems are usually applied, such as Boltzmann or Vlasov equations. Their solutions must meet initial and boundary conditions which presents a stubborn problem. Thus, the task is commonly reduced to a simpler one, e.g., to solving ordinary differential equations. This is the basis for model of magnetic electron isolation in vacuum diode proposed by a group of French mathematicians. The model is described by a system of two nonlinear ordinary second-order differential equations, and the problem of finding all exact solutions, i.e. full integration is concerned. In this paper, the whole concept is further developed into a class of elliptic equation systems with multidimensional Laplace operator, including both generalization of the above vacuum diode model and other systems applied in chemical technology, mathematical biology, etc. It is established that only solutions of Helmholtz linear equation can be solutions of the elliptic systems considered, and the properties of the former solutions can be inherited by the latter ones. Method of finding radially symmetric exact solutions is offered. A series of example control systems are observed, for which parametrical families of exact solutions (including those anisotropic by spatial variables) described by elementary or harmonious functions are found. Examples of global solutions defined on entire space are specified. The explicit expressions of exact solutions obtained have both theoretical and applied value as they can be used for testing, development and adaptation of numerical methods and algorithms of finding approximate solutions for boundary problems within the generalized model of magnetic isolation.</p>

Ключевые слова EN

Литература EN
1. Vyazmina E.A., Polyanin A.D. New classes of exact solutions of nonlinear diffusionkinetic equations and systems of general form (in Russian) [Novye klassy tochnykh resheniy nelineynykh diffuzionno-kineticheskikh uravneniy i sistem obshchego vida]. Teor. osnovy khimicheskoy tekhnologii, 2006, vol. 40,no 6, pp. 1-10. 2. Drivotin O.I., Ovsyannikov D.A. Solutions of the Vlasov equation for a beam of charged particles in a magnetic field (in Russian) [Resheniya uravneniya Vlasova dlya puchka zaryazhennykh chastits v magnitnom pole]. Izvestia ISU. Ser.Mathematics, 2013, vol.6, no 4, pp. 2-22. 3. Ibragimov N.K., Rudenko O.V. The principle of a priori use of symmetries in the theory of nonlinear waves (in Russian) [Printsip apriornogo ispol’zovaniya simmenriy v teorii nelineynykh voln]. Acusticheskiy Zhurnal, 2004, vol. 50, no 4, pp. 1-15. 4. Kosov A.A., Semenov E.I., Sinitsyn A.V. Integrable models of magnetic insulation and its exact radially symmetric solutions (in Russian) [Inegriruemost’ modeli magnitnoy izolyatsii i eye tochnye radial’no simmetrichnye resheniya]. Izvestia ISU. Ser. Mathematics, 2013, vol.6, no 1, pp. 45-56. 5. Kosov A.A., Sinitsyn A.V. On the construction of first integrals for a class of nonlinear systems (in Russian) [O postroenii pervykh integralov dlya odnogo klassa nelineynykh sistem]. Izvestia ISU. Ser. Mathematics, 2012, vol.5, no 1, pp. 57-69. 6. A.D. Polyanin. V.F. Zaitsev Handbook of nonlinear partial differential equations. Publisher, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton-London-New York, 2012, 1912 p. 7. V. V. Pukhnachev Exact solutions of the equations of motion for an incompressible viscoelastic Maxwell medium. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2009, vol. 50, no 2, pp. 181-187. 8. Semenov E.I., Sinitsyn A.V. Mathematical model of magnetic insulation vacuum diode and its exact solutions (in Russian) [Matematicheskaya model’ magnitnoy izolyatsii vakuumnogo dioda i eye tochnye resheniya]. Izvestia ISU. Ser.Mathematics, 2010, vol.3, no 1, pp. 78-91. 9. Sidorov N.A., Sidorov D.N. About branching solutions of nonlinear differential equations of n-th order (in Russian) [O razvetvlyayushchikhsya resheniyakh nelineynykh differentsial’nykh uravneniy n-go poryadka]. Izvestia ISU. Ser.Mathematics, 2010, vol.3, no 1, pp. 92-103. 10. Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Equations of mathematical physics (in Russian) [Uravneniya matematicheskoy fiziki]. M., Nauka, 1977, 735 p. 11. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/solutions/syspde/spde-toc3.htm 12. Ben Abdallah N., Degond P., Mehats F. Mathematical model of magnetic insulation. Physics of plasmas, 1998, vol. 5, pp. 1522-1534. 13. Sidorov N., Loginov B., Sinitsyn A. and Falaleev M. Lyapunov – Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications. Kluwer Academic Publishers, 2002. 14. Vedenypin V., Sinitsyn A., Dulov E. Kinetic Boltzmann-Vlasov and related equations. Amsterdam, Elsevier, 2011.